Toán tử tuyến tính xác định trù mật và l2 đánh giá cho phương trình ∂¯: Luận Văn Thạc Sĩ Khoa học chuyên ngành Toán giải tích [Mã số: 60460102]

Abstract

Trình bày lại các kết quả cơ bản về lý thuyết toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trong không gian Hilbert. Sau đó, tác giả trình bày các kết quả cơ bản về không gian Hilbert L 2 (p,q) (Ω, ϕ)-các dạng vi phân song bậc (p, q) với các hệ số bình phương khả tích ứng với độ đo e −ϕdV , trong đó Ω là một miền mở trong Cn và dV là độ đo Lebesgue trên Ω, còn ϕ là hàm trơn trong Ω. Tác giả chứng minh trong mục hai của chương này rằng toán tử ¯∂ là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật từ không gian Hilbert L 2 (p,q) (Ω, ϕ1) vào không gian Hilbert L 2 (p,q+1)(Ω, ϕ2) với ϕ1, ϕ2 là các hàm trơn trong Ω. Trong chương hai, tác giả trình bày các L 2 đánh giá H¨ormander và giải phương trình ¯∂α = f. Cụ thể, trong mục đầu tiên của chương này, tác giả chứng minh rằng các dạng vi phân trong không gian L 2 (p,q+1)(Ω, ϕ2) được xấp xỉ bởi các dạng vi phân song bậc (p, q + 1) với các hệ số là các hàm trơn có giá compact với chuẩn đồ thị GT rất tự nhiên (xem chi tiết trong Định nghĩa 2.9). Nhờ sự xấp xỉ này, trong mục hai, tác giả chứng minh được một hệ thức L 2 cho các dạng vi phân f ∈ L 2 (p,q) (Ω, ϕ). Theo lý thuyết về toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật, những hệ thức như vậy đảm bảo là điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương trình ¯∂. Chương hai kết thúc bằng việc chứng minh được sự tồn tại nghiệm của phương trình ¯∂.